Lei dos senos

Os estudos trigonométricos no triângulo retângulo têm por finalidade relacionar os ângulos do triângulo com as medidas dos lados, por meio das seguintes relações: seno, cosseno e tangente. Essas relações utilizam o cateto oposto, o cateto adjacente e a hipotenusa. Observe:

Seno: cateto oposto / hipotenusa
Cosseno: cateto adjacente / hipotenusa
Tangente: cateto oposto / cateto adjacente

Essas relações somente são válidas se aplicadas no triângulo retângulo, aquele que possui um ângulo reto (90º) e outros dois ângulos agudos. Nos casos envolvendo triângulos quaisquer utilizamos a lei dos senos ou a lei dos cossenos no intuito de calcular medidas e ângulos desconhecidos. Enfatizaremos a lei dos senos mostrando sua fórmula e modelos detalhados de resoluções de exercícios.

Fórmula que representa a lei dos senos:

$\frac{a}{senA}=\frac{b}{senB}=\frac{c}{senC}$

Na lei dos senos utilizamos relações envolvendo o seno do ângulo e a medida oposta ao ângulo.

Exemplo 1

Determine o valor de x no triângulo a seguir.

$sen 120^{o}=sen 60^{o} = \frac{\sqrt{3}}{2} = 0,8660$

$sen 45^{o}= \frac{\sqrt{2}}{2} = 0,7071$

$\frac{x}{sen60 ^{o}}=\frac{100}{sen45 ^{o}}$

$\frac{x}{0,8660}=\frac{100}{0,7071}$

$x = 122,5$

Exemplo 2

No triângulo a seguir temos dois ângulos, um medindo 45º, outro medindo 105º, e um dos lados medindo 90 metros. Com base nesses valores determine a medida de x.

Para determinarmos a medida de x no triângulo devemos utilizar a lei dos senos, mas para isso precisamos descobrir o valor do terceiro ângulo do triângulo. Para tal cálculo utilizamos a seguinte definição: a soma dos ângulos internos de um triângulo é igual a 180º. Portanto:

$\alpha + 105^{o} + 45^{o} = 180^{o}$

$\alpha + 150^{o} = 180^{o}$

$\alpha = 180^{o} - 150^{o}$

$\alpha = 30^{o}$

Aplicando a lei dos senos

$\frac{x}{sen45^{`0}}=\frac{90}{sen30^{o}}$

$\frac{x}{0,7071}=\frac{90}{0,5}$

$x=127,26$

Fonte

SILVA, Marcos Noé Pedro da. “Lei dos senos”; Brasil Escola. Disponível em <http://brasilescola.uol.com.br/matematica/lei-dos-senos.htm>. Acesso em 27 de dezembro de 2016.

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