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Lei do cosseno

Utilizamos a lei dos cossenos nas situações envolvendo triângulos não retângulos, isto é, triângulos quaisquer. Esses triângulos não possuem ângulo reto, portanto as relações trigonométricas do seno, cosseno e tangente não são válidas. Para determinarmos valores de medidas de ângulos e medidas de lados utilizamos a lei dos cossenos, que é expressa pela seguinte lei de formação:

 a^{2}=b^{2}+c^{2}-2.b.c.cos\theta

 b^{2}=a^{2}+c^{2}-2.a.c.cos\beta

 c^{2}=a^{2}+b^{2}-2.a.b.cos\alpha

Exemplo 1

Utilizando a lei dos cossenos, determine o valor do segmento x no triângulo a seguir:

 a^{2}= b^{2}+ c^{2}-2.b.c.cos?

 7^{2}= x^{2}+ 3^{2}-2.3.x.cos60^{o}

49= x^{2}+ 9-6.x.0,5

49= x^{2}- 3x+9

 x^{2}- 3x-40=0

 

Aplicando o método resolutivo da equação do 2º grau, temos:

x’ = 8

x” = – 5,

por se tratar de medidas descartamos x” = –5 e utilizamos x’ = 8.

Então o valor de x no triângulo é 8 cm.
Exemplo 2

Em um triângulo ABC, temos as seguintes medidas: AB = 6 cm, AC = 5 cm e BC = 7 cm. Determine a medida do ângulo A.

Vamos construir o triângulo com as medidas fornecidas no exercício.

 

Aplicando a lei dos cossenos

a = 7,

b = 6

c = 5

 7^{2}= 6^{2}+ 5^{2}-2.6.5.cosA

49}= 36+ 25-60.cosA

49-36-25= -60.cosA

-12= -60.cosA

cosA=\frac{12}{60}

cosA=0,2

 cos^{-1}=0,2 \rightarrow 78^{o}

Exemplo 3

Calcule a medida da maior diagonal do paralelogramo da figura a seguir, utilizando a lei dos cossenos.

 cos120^{0}=-cos(180^{o}-120^{o})=-cos60^{o}=-0,5

 x^{2}= 5^{2}+ 10^{2}-2.5.10.(-cos60^{o})

 x^{2}= 25+ 100-100.(-0,5)

 x^{2}= 125+50

 x^{2}= 175

\sqrt{x^{2}}=\sqrt{175}

x=\sqrt{175}

x=\sqrt{5^{2}.7}

x=5\sqrt{7}

Portanto, a diagonal do paralelogramo mede 5\sqrt{7} cm

Fonte:

SILVA, Marcos Noé Pedro da. “Lei do cosseno “; Brasil Escola. Disponível em <http://brasilescola.uol.com.br/matematica/lei-coseno.htm>. Acesso em 28 de dezembro de 2016.

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